1 ... 15 16 17 18 19 20 21 22 23

The Poincaré Conjecture Clay Research Conference Resolution of the Poincaré Conjecture Institut Henri Poincaré Paris, France, June 8–9, 2010 - bet 23

bet23/23
Sana08.07.2018
Hajmi3.97 Kb.
We have known that outside finitely many points, Y is a limit of spaces with
bounded curvature, so it has smooth points. In fact, it is shown in [NT08] that Y
is a quotient by a smooth manifold by a group action outside finitely many points.
We can say more when M is a K¨
ahler surface. Then
M(λ, χ, v) contains a
component
M(Ω, c
2
) of K¨
ahler–Einstein metrics with K¨
ahler class Ω, where c
1
and
c
2
denotes the first and second Chern classes of M .
If c
1
> 0 and
M(c
1
/3, c
2
) is of positive dimension, then M is a Del-Pezzo
surface obtained by blowing up
CP
2
at m points in general position, where 5

m
≤ 8. In [Ti89], it was proved that M(c
1
/3, c
2
) can be compactified by adding

ahler–Einstein orbifolds, and furthermore, there are strong constraints on quotient
singularities. It was conjectured in [Ti89] that
M(c
1
/3, c
2
) can be compactified by
adding K¨
ahler–Einstein orbifolds whose singularities are only rational double points
possibly with very few exceptional cases. Indeed, it is true when M is a blow-up of
CP
2
at 5 point, see [MM93].
If c
1
= 0, then M is either a complex 2-torus or a K3 surface. This is a
collapsing case and is related to problems on large complex limits in the Mirror
symmetry.
If c
1
< 0, let (M, g
i
) be a sequence in
M(−c
1
/3, c
2
), let (M

, g

) be one of its
limits as in Theorem 7.4, and let M
∞,1
,
· · · , M
∞,N
be its irreducible components.
We know that each (M
∞,α
, g

) is a complete K¨
ahler–Einstein orbifold. It should
be possible to identify these irreducible components more explicitly. For simplicity,
assume that M
∞,α
is smooth, then we expect:
M
∞,α
is of the form ¯
M
\D, where ¯
M is a projective surface
and D is a divisor with normal crossings, such that K
¯
M
+ D
is positive outside D and each component of D has either pos-
itive genus, or at least two intersection points with components
of D.
Note that the main theorem in [TY86] implies: given ¯
M and D as above, there
is a K¨
ahler–Einstein metric on ¯
M
\D.
8. Complete Calabi-Yau 4-manifolds
To understand Y near those finitely many non-smooth points, we are led to
classifying all complete Ricci-flat 4-manifolds (M, g) with finite L
2
-norm of curva-
ture. Almost all known examples of such complete Ricci-flat manifolds are Calabi–
Yau ones, so we will focus on complete Calabi–Yau metrics. Non-flat Calabi–Yau
metrics were first constructed on a minimal resolution of the quotient of
C
2
by a

GEOMETRIC ANALYSIS ON 4-MANIFOLDS
161
finite group in SU (2) by physicists, by Hitchin and Calabi explicitly or by using
the Twistor theory. Further complete Calabi–Yau 4-manifolds were constructed in
[Kr89], [TY90], [CK99], [CH05] and [He10] et al.. A natural question is to see
if they are all the complete Calabi–Yau 4-manifolds with L
2
-bounded curvature.
The work of Cheeger and myself may shed a light on answering this question.
Theorem
8.1. [CT06] If (M, g) is a complete Ricci-flat manifold with L
2
-
bounded curvature, then its curvature decays quadratically.
A related question is the uniqueness of Calabi-Yau metrics on
C
2
raised by
Calabi a long time ago. There are indeed complete non-flat Calabi-Yau metrics,
like the Taub–Nut metric. However, many years ago, I proved the following result
in an published note.
Theorem
8.2. Any complete Calabi–Yau metric on
C
2
with maximal volume
growth must be flat.
Its outlined proof appeared in [Ti06] and we refer the readers to there for more
discussions.
Remark
8.3. In fact, by the same arguments, one can actually show that any
complete Calabi–Yau 4-manifolds with maximal volume growth must be a minimal
resolution of the quotient of
C
2
by a finite subgroup in SU (2).
I also conjectured many years ago that the same holds for higher dimensional
cases, that is, any complete Calabi-Yau metrics on
C
n
with maximal volume growth
is flat.
9. Metrics of anti-self-dual type
Anti-self-dual metrics impose strong constraints on underlying 4-manifolds.
There have been many works on constructing anti-self-dual metrics by the gluing
method or the twistor method
5
(see [Fl91], [DoFr], [Kr89], [Le93]). In particu-
lar, Taubes proved that given any 4-manifold M , after making connected sum of
it with sufficiently many copies of
CP
2
, the resulting 4-manifold admits one anti-
self-dual metric ([Ta92]). A fundamental question remains open: how to deform a
metric on any given 4-manifold towards an anti-self-dual metric as we did for the
geometrization of 3-manifolds when the Ricci flow is used. For this purpose, we
need to develop some analytic estimates for the anti-self-dual equation.
Consider the anti-self-dual equation:
(9.1)
W
+
= 0, S = const.
(9.1) is an elliptic equation modulo diffeomorphisms. Let us show why it is: re-
garding the curvature Rm as a symmetric tensor on Λ
2
M , the symbol σ(Rm) :
T
x
M
× S
2
T

x
M
→ S
2
Λ
2
x
M of the linearized operator of Rm at (x, g) is given by
σ(Rm)(ξ, h)(e, e ) =
− 2 h(e(ξ), e (ξ)),
where ξ
∈ T
x
M , h
∈ S
2
T

x
M and e, e
∈ Λ
2
x
M . Here we have identified e, e
∈ Λ
2
x
M
as endomorphisms of T
x
M through the metric g. It follows that the symbol σ(S)
5
There were also works on the moduli of anti-self-dual metrics, e.g., [AHS], [KK92]. In this
section, our emphasis on the moduli is different and more towards compactifying the moduli.

162
GANG TIAN
of the scalar curvature is
σ(S)(ξ, h) =
− 4
α
h(e
α
(ξ), e
α
(ξ)),
where
{e
α
} is an orthonormal basis of ΛT
x
M . Notice that
W
+
+
S
12
= Rm
|
Λ
+
T
x
M
.
So one can deduce the symbol
σ(W
+
)(ξ, h)(e, e ) =
− 2 h(e(ξ), e (ξ)) −
2
3
i
h(e
i
(ξ), e
i
(ξ)) g
x
(e, e ),
where
{e
i
} is an orthonormal basis of Λ
+
T
x
M . The ellipticity of (9.1) modulo
diffeomorphisms means that for any given unit ξ, h = 0 whenever if i
ξ
h = 0 and
σ(W
+
)(ξ, h) = 0 and σ(S)(ξ, h) = 0. It follows directly from the above computa-
tions of symbols.
As for Einstein metrics, we need to study the following problem: given a se-
quence of an anti-self-dual metrics g
i
, or more general f -asd metrics, on M , what
are possible limits of g
i
as i tends to
∞?
By using the Index Formula for the signature, we have
M
||W (g
i
)
||
2
dV
g
i
= 12π
2
τ (M ).
By the Gauss–Bonnet–Chern formula, we can deduce from this
M
||Rm(g
i
)
||
2
dV
g
i
= 24π
2
τ (M )
− 8π
2
χ(M ) +
1
12
M
S(g
i
)
2
dV
g
i
.
If the scalar curvature S(g
i
) has uniformly bounded L
2
-norm, then we have a priori
L
2
-bound on curvature tensor Rm(g
i
).
Since the Weyl tensor is a conformal invariant, we can make conformal changes
to g
i
. Recall the Yamabe constant:
Q(M, g
i
) = inf
u>0
M
|∇
g
i
u
|
2
+ S(g
i
)u
2
dV
g
i
M
u
4
dV
g
i
1
2
.
Using the Aubin–Schoen solution of the Yamabe conjecture, there is a u attaining
Q(M, g
i
), so we simply take g
i
with volume 1 and such that the scalar curvature
S(g
i
) is Q(M, g
i
). Then we have
M
S(g
i
)
2
dV
g
i
= Q(M, g
i
)
2
.
Therefore, if g
i
form a sequence of anti-self-dual metrics with bounded Yamabe
constant, then we may assume that their curvatures are uniformly L
2
-bounded and
that they have fixed volume. One can ask two questions:
1. Given a compact 4-manifold, is there a uniform bound on the Yamabe
constant for anti-self-dual metrics?
2. What are possible limits of anti-self-dual metrics g
i
with uniformly bounded
Yamabe constant?
As a corollary of Theorem 1.3 in [TV05], one has the following partial answer to
the second question:

GEOMETRIC ANALYSIS ON 4-MANIFOLDS
163
Theorem
9.1. Let g
i
be a sequence of anti-self-dual metrics on M with bounded
Yamabe constant. We further assume that there is a uniform constant c such that
for any function f ,
M
f
4
dV
g
i
1
2
≤ c
M
(
|df|
2
g
i
+ f
2
)dV
g
i
.
Then by taking a subsequence if necessary, we have that g
i
converges to a multi-fold
(M

, g

) in the Cheeger–Gromov topology
6
.
Remark
9.2. A compactness result can be proved for K¨
ahler metrics with
constant scalar curvature by the same arguments.
It is possible to have an -regularity theorem similar to Theorem 7.1. The
following can be proved by extending the effective transgression method in [CT06]
and bounding Sobolev constants for collapsing 4-manifolds with bounded curvature.
Theorem
9.3.
7
There exist uniform constants
> 0, c > 0, such that the
following holds: If g is an anti-self-dual metric or a K¨
ahler metric with constant
scalar curvature
±12 or 0 and B
r
(p) is a geodesic ball of radius r
≤ 1 satisfying:
(9.2)
B
r
(p)
|Rm(g)|
2
≤ ,
then
(9.3)
sup
B
1
2
r
(p)
|Rm(g)| ≤ c · r
−2
.
It is hoped that the moduli space of anti-self-dual metrics can be used for
constructing new differentiable invariants for 4-manifolds.
If such an invariant
exists, one can compute it and use it to establish existence of anti-self-dual metrics
on a 4-manifold. However, there are two major difficulties to be overcome in order
to define the invariant: compactness and transversality. We have discussed the
compactness. For transversality, the readers can find some discussions in [Ti06].
References
[An89]
M. Anderson, Ricci curvature bounds and Einstein metrics on compact manifolds. J.
Amer. Math. Soc. 2 (1989), no. 3, 455–490. MR999661 (90g:53052)
[AHS]
M. Atiyah, N. Hitchin and I. Singer, Self-duality in four-dimensional Riemannian ge-
ometry. Proc. Roy. Soc. London Ser. A 362 (1978), 425–461. MR506229 (80d:53023)
[Au]
T. Aubin, Some nonlinear problems in Riemannian geometry. Springer Monographs in
Mathematics, Sringer, 1998. MR1636569 (99i:58001)
[CG09]
J.G. Cao and J. Ge, Perelman’s collapsing theorem for 3-manifolds. To appear in The
Journal of Geometric Analysis, arXiv:0908.3229.
[CLT06]
X.X.Chen, P. Lu and G. Tian, A note on uniformization of Riemann surfaces by Ricci
flow. Proc. Amer. Math. Soc. 134 (2006), no. 11, 3391–3393 MR2231924 (2007d:53109)
[CLW08]
X.X.Chen, C. Lebrun and B. Weber, On conformally K¨
ahler, Einstein manifolds. J.
Amer. Math. Soc. 21 (2008), no. 4, 1137–1168. MR2425183 (2010h:53054)
[Ch90]
B. Chow, The Ricci flow on the 22-sphere. J. Differential Geom. 33 (1991), no. 2,
325–334. MR1094458 (92d:53036)
[CM07]
T. Colding and W. Minicozzi, Width and finite extinction time of Ricci flow. Geom.
Topol. 12 (2008), no. 5, 2537–2586. MR2460871 (2009k:53166)
6
A multi-fold is a connected sum of finitely many orbifolds, see [TV05] for definition.
7
This was announced in some of my lectures in early 2010, but a written proof has not
appeared yet and is in preparation.

164
GANG TIAN
[CT06]
J. Cheeger and G. Tian, Curvature and injectivity radius estimates for Einstein 4-
manifolds. J. Amer. Math. Soc. 19 (2006), no. 2, 487–525. MR2188134 (2006i:53042)
[CH05]
S. Cherkis and N. Hitchin, Gravitational instantons of type D
k
. Comm. Math. Phys.
260 (2005), no. 2, 299–317. MR2177322 (2007a:53095)
[CHK00]
D. Cooper, C. Hodgson, S. Kerchoff, 3-dimensional orbifolds and cone-manifolds. Math.
Soc. Japan Memoirs, Vol. 5, Tokyo, 2000.
[CK99]
S. Cherkis and A. Kapustin, Singular monopoles and gravitational instantons. Comm.
Math. Phys. 203 (1999), no. 3, 713–728. MR1700937 (2000m:53062)
[CZ06]
B-L Chen and X-P Zhu, Ricci flow with surgery on four-manifolds with positive
isotropic curvature. J. Differential Geom. 74 (2006), no. 2, 177–264.
MR2258799
(2007f:53077)
[DoC]
M.
doCarmo,
Riemannian
geometry.
Mathematics:
Theory
and
Applications,
Birkh¨
auser, 1992, Boston-Basel-Berlin. MR1138207 (92i:53001)
[Do86]
S. Donaldson, The geometry of 4-manifolds. Proceedings of the International Con-
gress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986), 43–54, Amer. Math. Soc.,
Providence, RI, 1987. MR934214 (89d:57002)
[DoFr]
S. Donaldson and R. Friedman, Connected sums of self-dual manifolds and deforma-
tions of singular spaces. Nonlinearity 2 (1989), no. 2, 197–239. MR994091 (90e:32027)
[Fl91]
A. Floer, Self-dual conformal structures on
CP
2
. J. Diff. Geom. 33 (1991), no. 2,
551–573. MR1094469 (92e:53049)
[Fr82]
M. Freedman, The topology of four-dimensional manifolds. J. Diff. Geom. 17 (1982),
no. 3, 357–453. MR679066 (84b:57006)
[Ha82]
R. Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential Geom. 17
(1982), no. 2, 255–306. MR664497 (84a:53050)
[Ha86]
R. Hamilton, Four-manifolds with positive curvature operator. J. Differential Geom.
24 (1986), no. 2, 153–179. MR862046 (87m:53055)
[Ha93]
R. Hamilton, The Harnack estimate for the Ricci flow. J. Diff. Geom. 37 (1993), no.
1, 225–243. MR1198607 (93k:58052)
[Ha88]
R. Hamilton, The Ricci flow on surfaces. Mathematics and general relativity. 237–262,
Contemp. Math., 71, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988. MR954419 (89i:53029)
[Ha97]
R. Hamilton, Four-manifolds with positive isotropic curvature. Comm. Anal. Geom. 5
(1997), no. 1, 1–92. MR1456308 (99e:53049)
[Ha99]
R. Hamilton, Nonsingular solutions of the Ricci flow on three-manifolds. Comm. Anal.
Geom. 7 (1999), 695–729. MR1714939 (2000g:53034)
[He10]
Hans-Joachim Hein, Complete Calabi-Yau metrics from
CP
2
#9
CP
2
. arXiv:1003.2646.
[Hi74]
N. Hitchin, Compact four-dimensional Einstein manifolds. J. Differential Geom. 9
(1974), 435–441. MR0350657 (50:3149)
[Hi11]
N. Hitchin, Poisson modules and generalized geometry. Geometry and analysis. No. 1,
403–417, Adv. Lect. Math. (ALM), 17, Int. Press, 2011. MR2882431
[Is12]
M. Ishida, Einstein metrics and exotic smooth structures. Pacific J. Math. 258 (2012),
no. 2, 327–348. MR2981957
[Ka07]
V. Kapovitch, Perelman’s stability theorem. Surveys in differential geometry. Vol. XI,
103-136. MR2408265 (2009g:53057)
[KK92]
A. King and D. Kotschick, The deformation theory of anti-self-dual conformal struc-
tures. Math. Ann. 294 (1992), no. 4, 591–609. MR1190446 (93j:58021)
[KL10]
B. Kleiner and J. Lott, Locally collapsed 3-manifolds. arXiv:1005.5106.
[Kn29]
H. Kneser, Geschlossene Fl¨
achen in drei-dimesnionalen Mannigfaltigkeiten. Jahresber.
Deutsch. Math. Verbein 38 (1929), 248–260.
[Kr89]
P. Kronheimer, The construction of ALE spaces as hyper-K¨
ahler quotients. J. Differ-
ential Geom. 29 (1989), no. 3, 665–683. MR992334 (90d:53055)
[Le93]
C. LeBrun, Self-dual manifolds and hyperbolic geometry. Einstein metrics and Yang-
Mills connections (Sanda, 1990), 99–131, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 145,
Dekker, New York, 1993. MR1215284 (94h:53060)
[Le95]
C. LeBrun, Einstein metrics and Mostow rigidity. Math. Res. Lett. 2 (1995), 1–8.
MR1312972 (95m:53067)
[LT]
G. La Nave and G. Tian, Soliton-type metrics and K¨
ahler-Ricci flow on symplectic
quotients. arXiv:0903.2413.

GEOMETRIC ANALYSIS ON 4-MANIFOLDS
165
[LY86]
P. Li and S.T. Yau, On the parabolic kernel of the Schr¨
odinger operator. Acta Math.
156 (1986), no. 3-4, 153–201. MR834612 (87f:58156)
[MM93]
T. Mabuchi and S. Mukai, Stability and Einstein–K¨
ahler metric of a quartic del Pezzo
surface. Einstein metrics and Yang-Mills connections, 133–160, Lecture Notes in Pure
and Appl. Math., 145, Dekker, New York, 1993. MR1215285 (94m:32043)
[MT06]
J. Morgan and G. Tian, Ricci flow and the Poincar´
e conjecture. Clay Mathematics
Monographs, 3. American Mathematical Society, Providence, RI; Clay Mathematics
Institute, Cambridge, MA, 2007, 521 pp. MR2334563 (2008d:57020)
[MT08]
J. Morgan and G. Tian, Completion of the proof of the Geometrization Conjecture.
arXiv:0809.4040.
[Na88]
H. Nakajima, Hausdorff convergence of Einstein 4-manifolds. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo
Sect. IA Math. 35 (1988), no. 2, 411–424. MR945886 (90e:53063)
[NT08]
A. Naber and G. Tian, Geometric Structures of Collapsing Riemannian Manifolds I.
arXiv:0804.2275. MR2906936
[OSW06]
T. Oliynyk, V. Suneeta and E. Woolgar, A gradient flow for worldsheet nonlinear sigma
models, Nuclear Phys. B 739 (2006), no. 3, 441–458. MR2214659 (2006m:81185)
[Per02]
G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications.
arXiv:math/0211159.
[Per03]
G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds. arXiv:math/0303109.
[Perel]
G. Perelman, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-
manifolds. arXiv:math/0307245
[Se05]
N. Sesum, Curvature tensor under the Ricci flow. Amer. J. Math. 127 (2005), no. 6,
1315–1324. MR2183526 (2006f:53097)
[ST07]
J. Song and G. Tian, The K¨
ahler–Ricci flow on surfaces of positive Kodaira dimension.
Invent. Math. 170 (2007), no. 3, 609–653. MR2357504 (2008m:32044)
[ST09]
J. Song and G. Tian, The K¨
ahler–Ricci flow through singularities. arXiv:0909.4898.
[StT09]
J. Streets and G. Tian, A parabolic flow of pluriclosed metrics. Int. Math. Res. Not.
IMRN 2010, no. 16, 3101–3133. MR2673720 (2011h:53091)
[StT10]
J. Streets and G. Tian, Symplectic curvature flow. arXiv:1012.2104.
[StT11]
J. Streets and G. Tian, Regularity theory for pluriclosed flow. C. R. Math. Acad. Sci.
Paris 349 (2011), no. 1-2, 1–4. MR2755684 (2012a:32025)
[SW]
J. Song and B. Weinkove, Contracting exceptional divisors by the K¨
ahler–Ricci flow.
Duke Math. J. 162 (2013), no. 2, 367–415. MR3018957
[SY06]
T. Shioya and T. Yamaguchi, Collapsing three-manifolds under a lower curvature
bound. J. Diff. Geom., 56 (2000), no. 1, 1–66. MR1863020 (2002k:53074)
[SY06]
T. Shioya and T. Yamaguchi, Volume collapsed three-manifolds with a lower curvature
bound. Math. Ann. 333 (2005), no. 1, 131–155. MR2169831 (2006j:53050)
[Ta92]
C. Taubes, The existence of anti-self-dual conformal structures. J. Differential Geom.
36 (1992), no. 1, 163–253. MR1168984 (93j:53063)
[Te10]
A. Teleman, Instantons and curves on class VII surfaces. Ann. of Math. (2) 172 (2010),
no. 3, 1749–1804. MR2726099 (2011h:32020)
[Th97]
W. Thurston, Three-dimensional geometry and topology, vol. 1, Princeton Math. Ser.,
vol. 35, Princeton Univ. Press, 1997. MR1435975 (97m:57016)
[Ti89]
G. Tian, On Calabi’s conjecture for complex surfaces with positive first Chern class.
Invent. Math. 101 (1990), no. 1, 101–172. MR1055713 (91d:32042)
[Ti06]
G. Tian, Aspects of metric geometry of four manifolds. Inspired by S. S. Chern, 381–
397, Nankai Tracts Math., 11, World Sci. Publ., 2006. MR2313343 (2008i:53044)
[TV05]
G. Tian and J. Viaclovsky, Moduli spaces of critical Riemannian metrics in dimension
four. Adv. Math. 196 (2005), no. 2, 346–372. MR2166311 (2006i:53051)
[TY86]
G. Tian and S.T. Yau, Existence of K¨
ahler–Einstein metrics on complete K¨
ahler man-
ifolds and their applications to algebraic geometry. Mathematical aspects of string
theory, 574–628, World Sci. Publishing, 1987. MR915840
[TY87]
G. Tian and S.T. Yau, K¨
ahler–Einstein metrics on complex surfaces with C
1
> 0.
Comm. Math. Phys. 112 (1987), no. 1, 175–203. MR904143 (88k:32070)
[TY90]
G. Tian and S.T. Yau, Complete K¨
ahler manifolds with zero Ricci curvature. I. J.
Amer. Math. Soc. 3 (1990), no. 3, 579–609. MR1040196 (91a:53096)
[TZ06]
G. Tian and Z. Zhang, On the K¨
ahler–Ricci flow on projective manifolds of general
type. Chinese Ann. Math. Ser. B 27 (2006), no. 2, 179–192. MR2243679 (2007c:32029)

166
GANG TIAN
[Wi94]
E. Witten, Monopoles and four-manifolds. Math. Res. Lett. 1 (1994), no. 6, 769–796.
MR1306021 (96d:57035)
[Ya77]
S.T. Yau, Calabi’s conjecture and some new results in algebraic geometry. Proceedings
of the National Academy of Sciences of the USA, 74 (1977), 1798–1799. MR0451180
(56:9467)
Beijing University and Princeton University


Do'stlaringiz bilan baham:

©2018 Учебные документы
Рады что Вы стали частью нашего образовательного сообщества.
?


the-second-battle---the.html

the-secret-life-of.html

the-self-realized-sage.html

the-sentinel.html

the-series-of-the-100.html